Natureza, The Golden Ratio e Fibonacci também. Então, assim como nós obtemos naturalmente sete braços quando usamos 0.142857 (17), tendemos a obter Números Fibonacci quando usamos o Rácio de Ouro. Tente contar os braços em espiral - as quimeras de voltas de virada e, em seguida, o quotright virando espirais. Que números você obteve Crescimento da folha espiral Este comportamento interessante não é encontrado apenas nas sementes de girassol. Folhas, ramos e pétalas também podem crescer em espirais. Por que, então, as novas folhas não bloqueiam o sol das folhas mais velhas, ou então a quantidade máxima de chuva ou orvalho é direcionada para as raízes. De fato, quando uma planta tem espirais, a rotação tende a ser uma fração feita com dois números de Fibonacci sucessivos (um após o outro), por exemplo: uma meia rotação é 12 (1 e 2 são números de Fibonacci) 35 também é comum (ambos Fibonacci Numbers), e 58 também (você adivinhou) cada vez mais perto da Golden Ratio. E é por isso que os Números Fibonacci são muito comuns nas plantas. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. etc. ocorrem em uma incrível quantidade de lugares. Aqui está uma margarida com 21 pétalas (mas espero mais ou menos, porque alguns podem ter caído ou estar crescendo). Mas não vemos isso em todas as plantas, pois a natureza tem muitos métodos diferentes de sobrevivência. Ângulo dourado Até agora, temos falado sobre quotturnsquot (rotações completas). O equivalente a 0.61803. Rotações é 222.4922. Graus, ou cerca de 222,5deg. Na outra direção, é cerca de 137.5deg. Chamado o Ângulo de ouro. Então, da próxima vez que você estiver andando no jardim, procure o Ângulo Dourado e conte pétalas e folhas para encontrar Números Fibonacci e descubra como as plantas são inteligentes. Por que você não entra no jardim ou estacione agora e comece a contar folhas e pétalas, e medindo rotações para ver o que você encontra. Você pode escrever seus resultados neste formulário: Nome ou Descrição da Planta: Fibonacci Números e Natureza Esta página foi dividida em DUAS PARTES. Isso, o primeiro. Olha os números de Fibonacci e por que eles aparecem em várias árvores genealógicas e padrões de espirais de folhas e sementes. A segunda página então examina por que a seção dourada é usada pela natureza com algum detalhe, incluindo animações de plantas em crescimento. Conteúdo desta página O ícone significa que há um Você faz as matemáticas. Seção de perguntas para iniciar suas próprias investigações. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Arbulos de família de coelhos, vacas e abelhas Vamos olhar primeiro no enigma de coelho que Fibonacci escreveu e, em seguida, em duas adaptações para torná-lo mais realista. Isto apresenta a série Fibonacci Number e a definição simples de toda a série sem fim. Fibonaccis Rabbits O problema original que Fibonacci investigou (no ano 1202) foi sobre a rapidez com que os coelhos poderiam se reproduzir em circunstâncias ideais. Suponha que um par recém-nascido de coelhos, um macho, uma fêmea, sejam colocados em um campo. Os coelhos são capazes de se acasalar com a idade de um mês para que, no final do segundo mês, uma fêmea possa produzir outro par de coelhos. Suponha que nossos coelhos nunca morram e que a fêmea sempre produz um par novo (um macho e uma fêmea) a cada mês a partir do segundo mês. O enigma que Fibonacci representava era. Quantos pares haverá em um ano No final do primeiro mês, eles se acasalam, mas ainda existe um único par. No final do segundo mês, a fêmea produz um novo par, então agora há 2 pares de coelhos no campo. No final do terceiro mês, a fêmea original produz um segundo par, fazendo 3 pares no campo todo. No final do quarto mês, a fêmea original produziu mais um novo par, a fêmea nascida há dois meses produz seu primeiro par, fazendo 5 pares. O número de pares de coelhos no campo no início de cada mês é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Você pode ver como a série é formada e como ela continua. Se não, olhe Na resposta. Os primeiros 300 números Fibonacci estão aqui e algumas perguntas para você responder. Agora, você pode ver por que esta é a resposta para o problema de nossos Coelhos Se não, heres por quê. Outra visão da Árvore genealógica dos coelhos: ambos os diagramas acima representam a mesma informação. Os coelhos foram numerados para permitir comparações e contabilizá-los, da seguinte forma: Todos os coelhos nascidos no mesmo mês são da mesma geração e estão no mesmo nível na árvore. Os coelhos foram numerados de forma exclusiva para que na mesma geração os novos coelhos estejam numerados na ordem do número de seus pais. Assim, 5, 6 e 7 são os filhos de 0, 1 e 2, respectivamente. Os coelhos marcados com um número de Fibonacci são os filhos do coelho original (0) no topo da árvore. Há um número de Fibonacci de novos coelhos em cada geração, marcado com um ponto. Há um número de coelhos Fibonacci no total de cima para baixo para qualquer geração única. Existem muitas outras propriedades matemáticas interessantes desta árvore que são exploradas em páginas posteriores neste site.0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. O problema dos Coelhos não é muito realista, é isso. Isso parece implicar que irmãos e irmãs companheiro, o que, geneticamente, leva a problemas. Podemos contornar isso dizendo que a fêmea de cada par se equipara com qualquer homem e produz outro par. Outro problema que novamente não é fiel à vida, é que cada nascimento é exatamente de dois coelhos, um homem e uma fêmea. Dudeneys Cows O inglês puzzlist, Henry E Dudeney (1857 - 1930, pronunciado Dude-knee) escreveu vários excelentes livros de quebra-cabeças (veja após esta seção). Em um deles, ele adapta os Coelhos Fibonaccis às vacas, tornando o problema mais realista da maneira que observamos acima. Ele contorna os problemas notando que realmente, são apenas as fêmeas que são interessantes - er - quero dizer, o número de mulheres que ele muda meses em anos e coelhos em touros (machos) e vacas (mulheres) no problema 175 em seu livro 536 quebra-cabeças e Curious Problems (1967, Souvenir press): se uma vaca produz sua primeira bezerro aos dois anos de idade e depois produz outra bezerra única todos os anos, quantos bezerros existem há 12 anos, assumindo nenhum Morrer Esta é uma melhor simplificação do problema e bastante realista agora. Mas Fibonacci faz o que os matemáticos costumam fazer no começo, simplificar o problema e ver o que acontece - e a série com seu nome tem muitas outras aplicações interessantes e práticas como vemos mais tarde. Então, vamos olhar para outra situação da vida real que é exatamente modelada pela série Fibonaccis - abelhas. Livros de enigmas de Henry E Dudeney Amusements in Mathematics. Dover Press, 1958, 250 páginas. Ainda em impressão graças a Dover em um formato de bolso muito resistente a um preço incrivelmente barato. Esta é uma coleção maravilhosa que eu acho que eu normalmente mergulho. Existem enigmas aritméticos, enigmas geométricos, quebra-cabeças de tabuleiro de xadrez, um excelente capítulo sobre todos os tipos de labirintos e resolvê-los, quadrados mágicos, quebra-cabeças de cruzeiros de rios e mais, todos com soluções completas e, muitas vezes, notas extra, altamente recomendados 536 quebra-cabeças e problemas curiosos agora Esgotado, mas você pode apanhar uma versão de segunda mão clicando neste link. É outra coleção como Amusements in Mathematics (acima), mas contendo diferentes enigmas organizados em seções: enigmas aritméticos e algébricos, enigmas geométricos, enigmas combinatórios e topológicos, enigmas de jogos, enigmas de Domino, enigmas de jogo e enigmas não classificados. Soluções completas e índice. Um verdadeiro tesouro. Os Puzzles de Canterbury. Dover 2002, 256 páginas. Mais enigmas (não nos livros anteriores), a primeira seção com alguns personagens de Chaucers Canterbury Tales e outras seções sobre os Monges de Riddlewell, a festa de natal dos escudeiros, os enigmas dos professores e assim por diante e todos com soluções completas, é claro, abelhas e árvores genealógicas Existem mais de 30 mil espécies de abelhas e, na maioria deles, as vidas vivas e solitárias das abelhas. O que a maioria de nós conhece melhor é a abelha e isso, de forma incomum, vive em uma colônia chamada de colméia e eles têm uma árvore genealógica incomum. Na verdade, existem muitas características incomuns das abelhas e nesta seção vamos mostrar como os números de Fibonacci contam ancestrais de abelhas (nesta seção, uma abelha significará uma abelha). Primeiro, alguns fatos incomuns sobre abelhas como: nem todos têm dois pais. Em uma colônia de abelhas, há uma fêmea especial chamada de rainha. Existem muitas abelhas operárias que também são femininas, mas, ao contrário da abelha-rainha, não produzem ovos. Existem algumas abelhas drone que são do sexo masculino e não trabalham. Os machos são produzidos pelas rainhas de ovos não fertilizados, de modo que as abelhas apenas têm uma mãe, mas nenhum pai. Todas as fêmeas são produzidas quando a rainha se acasalou com um macho e, portanto, tem dois pais. As fêmeas costumam acabar como abelhas trabalhadoras, mas algumas são alimentadas com uma substância especial chamada geléia real que os faz crescer em rainhas prontas para começar uma nova colônia quando as abelhas formam um enxame e saem de sua casa (uma colméia) em busca de Um lugar para construir um novo ninho. Assim, as abelhas têm 2 pais, um homem e uma fêmea, enquanto as abelhas têm apenas um dos pais, uma fêmea. Aqui seguimos a convenção de Árvores genealógicas que os pais aparecem acima de seus filhos. Então as últimas gerações estão no fundo e, quanto mais alto vamos, as pessoas mais velhas são. Essas árvores mostram todos os antepassados (predecessores, antepassados, antecedentes) da pessoa na parte inferior do diagrama. Nós teríamos uma árvore bastante diferente se listarmos todos os descendentes (progênies, descendentes) de uma pessoa como fizemos no problema do coelho, onde mostramos todos os descendentes do par original. Olhe para a árvore genealógica de uma abelha drone masculina. Ele tinha 1 pai, uma mulher. Ele tem 2 avós, uma vez que sua mãe tinha dois pais, um homem e uma mulher. Ele tem três bisavós: sua mãe tinha dois pais, mas seu avô tinha apenas um. Quantos ótimos avós que ele teve. Novamente, vemos os números de Fibonacci: A Seqüência de Fibonacci como aparece na Natureza por S. L.Basin em Fibonacci Quarterly. Vol 1 (1963), páginas 53 - 57. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Você faz as contas de matemática. Faça um diagrama de sua própria árvore genealógica. Pergunte aos seus pais e avós e parentes mais velhos, pois cada um poderá falar sobre partes específicas da sua árvore genealógica que outros não sabiam. Pode ser bastante divertido tentar ver o quão longe você pode ir. Se você os colocou em fotografias antigas de parentes em um gráfico grande de sua Árvore (ou use fotocópias das fotografias se seus parentes querem manter os originais). Se quiser, inclua o ano e local de nascimento e morte e também as datas de qualquer casamento. Um irmão ou irmã é o nome de alguém que tem os mesmos dois pais que você mesmo. O que é meio-irmão e meia-irmã Descreva um primo, mas use palavras mais simples como irmão, irmã, pai, filho. Faça o mesmo para sobrinho e sobrinha. O que é um primo segundo. O que queremos dizer com um cunhado, uma cunhada, uma sogra, etc. Grand - e great - referem-se a parentes ou a seus pais. Assim, um avô é pai de um pai seu e tia-avó ou tia-avó é o nome dado a uma tia de seus pais. Faça um diagrama de Nomes de Árvore genealógica para que eu esteja na parte inferior e mamãe e papai estão acima de você. Marque em irmão, irmã, tio, sobrinho e tantos outros nomes de (tipos de) parentes que você conhece. Não importa se você não tem irmãos ou irmãs ou sobrinhos, pois o diagrama deve mostrar os relacionamentos e seus nomes. Se você tem um amigo que fala um idioma estrangeiro, pergunte-lhes quais são as palavras que eles usam para esses relacionamentos. Qual é o nome da esposa de um irmão de pais Você usa um nome diferente para a irmã de seus pais. Em lei, estes dois às vezes são distinguidos porque um é um parente do sangue seu e o outro não é, apenas um parente através do casamento. Qual você acha que é o parente do sangue e qual a relação por causa do casamento? Quantos pais todos têm? Então, quantos avós você terá que criar espaços em sua Árvore genealógica. Cada um deles também teve dois pais, então, Os seus avós serão os seus avós em sua Árvore. E quantos bisavós O que é o padrão nesta série de números Se você voltar uma geração para seus pais e dois para seus avós, quantas entradas haverá 5 gerações atrás em sua Árvore e quantos 10 gerações atrás. A Árvore genealógica dos seres humanos envolve uma seqüência diferente para os Números Fibonacci. Qual é essa seqüência chamada Olhando suas respostas para a pergunta anterior, seu amigo Dee Duckshun diz para você: você tem 2 pais. Cada um tem dois pais, então são quatro avós que você tem. Eles também tiveram dois pais cada um fazendo 8 bisavós no total. . E 16 grandes bisavós. . e assim por diante. Então, quanto mais longe você vá em sua Árvore genealógica, mais pessoas estão lá. É o mesmo para a Árvore genealógica de todos vivos no mundo de hoje. Isso mostra que quanto mais adiante nós chegamos, mais pessoas devem ter estado. Então, é uma dedução lógica que a população do mundo deve ficar cada vez menor à medida que o tempo passa. Existe um erro no argumento Dees? Em caso afirmativo, o que é? Peça ao seu professor de matemática ou a um pai se você não tem certeza da resposta 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Números de Fibonacci e Relação de Ouro Se tomarmos a proporção de dois números sucessivos na série Fibonaccis, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.) e dividimos cada um pelo número anterior, encontraremos o seguinte Série de números: é mais fácil ver o que está acontecendo se traçamos as proporções em um gráfico: a proporção parece estar se ajustando a um valor particular, que chamamos de razão dourada ou número dourado. Tem um valor de aproximadamente 1183618034. Embora tenhamos um valor ainda mais preciso em uma página posterior, este link abre uma nova janela. Você faz as contas de matemática. O que acontece se tomarmos os rácios de outra forma, ou seja, dividimos cada número pelo seguinte: 11, 12, 23, 35, 58, 813. Use sua calculadora e talvez trace um gráfico dessas proporções e veja se algo parecido Está acontecendo em comparação com o gráfico acima. Você descobrirá uma propriedade fundamental dessa relação quando encontrar o valor restante da nova série 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 , 987. Mais. A razão dourada 1183618034 também é chamada de seção dourada ou média dourada ou apenas o número dourado. Muitas vezes, é representada por uma carta grega Phi. O valor intimamente relacionado que escrevemos como phi com um pequeno p é apenas a parte decimal de Phi, ou seja, 0183618034. Retângulos de Fibonacci e Espirais de Shell Podemos fazer outra imagem mostrando os números de Fibonacci 1,1,2,3,5,8, 13,21. Se começarmos com dois pequenos quadrados de tamanho 1 próximos uns dos outros. Em cima de ambos, desenhe um quadrado de tamanho 2 (11). Agora podemos desenhar um novo quadrado - tocando um quadrado de unidade e o último quadrado do lado 2 -, tendo laterais 3 unidades de comprimento e depois outro tocando tanto o 2-square como o 3-square (que tem lados de 5 unidades). Podemos continuar a adicionar quadrados ao redor da imagem, cada novo quadrado tendo um lado que é tão longo quanto a soma dos últimos dois quadrados lados. Este conjunto de retângulos cujos lados são dois números de Fibonacci sucessivos e que são compostos de quadrados com lados que são números de Fibonacci, chamaremos os Retângulos de Fibonacci. Aqui está uma espiral desenhada nos quadrados, um quarto de círculo em cada quadrado. A espiral não é uma verdadeira espiral matemática (uma vez que é composta de fragmentos que são partes de círculos e não se torna cada vez menor), mas é uma boa aproximação de um tipo de espiral que aparece frequentemente na natureza. Tais espirais são vistos na forma de conchas de caracóis e conchas do mar e, como vemos mais tarde, no arranjo de sementes em plantas com flores também. A espiral-nos-quadrados faz uma linha do centro do aumento espiral por um fator do número dourado em cada quadrado. Portanto, os pontos na espiral são 1,618 vezes mais longe do centro após um quarto de volta. Em um todo, os pontos em um raio para fora do centro são 1.618 4 6.854 vezes mais longe do que quando a curva cruzou pela última vez a mesma linha radial. Cundy e Rollett (Modelos Matemáticos, segunda edição de 1961, página 70) dizem que esta espiral ocorre em conchas de caracol e cabeças de flores referentes a DArcy Thompsons On Growth and Form, provavelmente significando o capítulo 6 The Spiral Equiangular. Aqui Thompson está falando sobre uma classe de espiral com um fator de expansão constante ao longo de uma linha central e não apenas conchas com um fator de expansão Phi. Abaixo estão as imagens de secções transversais de uma concha do mar Nautilus. Eles mostram a curva em espiral da casca e as câmaras internas que o animal que a usa aumenta à medida que cresce. As câmaras fornecem flutuabilidade na água. Clique na imagem para ampliá-la em uma nova janela. Desenhe uma linha do centro para fora em qualquer direção e encontre dois lugares onde a concha cruza para que a espiral da concha tenha rodado apenas uma vez entre elas. O ponto de passagem externo será cerca de 1,6 vezes mais longe do centro que o próximo ponto interno na linha onde a concha o cruza. Isso mostra que a concha cresceu por um fator da razão de ouro em uma volta. No cartaz mostrado aqui, esse fator varia de 1,6 a 1,9 e pode ser devido ao fato de a concha não ser cortada exatamente ao longo de um plano central para produzir a seção transversal. Várias organizações e empresas têm um logotipo baseado nesse projeto, usando a espiral dos quadrados de Fibonacci e, em algum momento, com o shell do Nautilus sobreposto. É incorreto dizer que isso é uma Phi-espiral. Em primeiro lugar, a espiral é apenas uma aproximação, uma vez que é composta por círculos trimestres separados e distintos, em segundo lugar, a espiral (verdadeira) aumenta por um fator Phi a cada trimestre de turno, por isso é mais correto chamá-la de espiral Phi 4. Clique nos logotipos para descobrir mais sobre as organizações. Everest Community College Basingstoke Aqui estão algumas fotos mais maravilhosas de All Posters (que você pode comprar para sua sala de aula ou parede em casa). Clique em cada um para ampliá-lo em uma nova janela. O mesmo acontece em muitas cabeças de semente e flor na natureza. A razão parece ser que este arranjo forma uma embalagem ótima das sementes, de modo que, por grande que seja a cabeça da semente, elas são embaladas uniformemente em qualquer estágio, todas as sementes são do mesmo tamanho, sem aglomeração no centro e não muito Escasso nas bordas. As espirais são padrões que o olho vê, espirais mais curiosas aparecendo perto do centro, espirais mais planas (e mais) aparecendo mais para fora vamos. Então, o número de espirais que vemos, em qualquer direção, é diferente para cabeças de flores maiores do que para pequenas. Em uma grande cabeça de flor, vemos mais espirais para fora do que fazemos perto do centro. O número de espirais em cada direção são (quase sempre) vizinhos números Fibonacci Clique nesses links para mais alguns diagramas de 500.000 e 5000 sementes. Clique na imagem à direita para uma animação Quicktime de 120 sementes aparecendo de um único ponto de crescimento central. Cada nova semente é apenas phi (0183618) de uma vez do último (ou, de forma equivalente, há sementes Phi (1183618) por turno). A animação mostra que, por maior que seja a cabeça da semente, as sementes estão sempre igualmente espaçadas. Em todas as etapas, as espirais de Fibonacci podem ser vistas. O mesmo padrão mostrado por esses pontos (sementes) é seguido se os pontos se desenvolvem em folhas ou ramos ou pétalas. Cada ponto só sai diretamente da haste central em uma linha reta. Este processo modela o que acontece na natureza quando a dica crescente produz sementes de forma espiralada. A única área ativa é a crescente dica - as sementes só aumentam quando apareceram. Esta animação foi produzida por Maple. Se houver sementes N em um quadro, a mais nova semente aparece mais próxima do ponto central, em 0183618 de uma volta do ângulo em que apareceu o último. Uma semente que é i frames old ainda mantém seu ângulo original a partir do centro exato, mas se mudou para uma distância que é a raiz quadrada de i. Phyllotaxis. Um estudo sistêmico na morfogênese da planta (Cambridge Studies in Mathematical Biology) de Roger V. Jean (400 páginas, Cambridge University Press, 1994) tem uma boa ilustração em sua capa - clique no link do título dos livros ou nesta pequena foto da capa e Na página que se abre, clique na imagem da capa frontal para vê-la. Ele mostra claramente que as espirais que o olho vê são diferentes perto do centro em uma cabeça de semente de girassol real, com todas as sementes do mesmo tamanho. Smith College (Northampton, Massachusetts, EUA) possui um excelente site. Um Site Interativo para o Estudo Matemático da Formação de Padrões de Plantas que vale a pena visitar. Ele também possui uma página de links para mais recursos. Observe que você nem sempre encontrará os números de Fibonacci no número de pétalas ou espirais nas cabeças de semente, etc., embora eles freqüentemente se aproximem dos números de Fibonacci. Você faz as contas de matemática. Por que não cultivar o seu próprio girassol a partir da semente. Fiquei surpreso com a facilidade de crescer quando o quadro acima apareceu em uma tigela de lâmpadas no meu pátio em casa no norte da Inglaterra. Talvez tenha chegado a partir de uma mistura de semente de pássaros que eu coloquei no ano passado. A mistura de semente de pássaros muitas vezes tem sementes de girassol, então você pode escolher alguns e colocá-los em uma panela. Semegue-os entre abril e junho e mantenha-os aquecidos. Alternativamente, agora há uma deslumbrante variedade de cores e formas de girassóis para tentar. Uma boa fonte para sua semente é: Nickys Seeds que fornece toda a gama de sementes de flores e vegetais, incluindo sementes de girassol no Reino Unido. Dê uma olhada no catálogo on-line da Nickys Seeds, onde há muitas fotos de cada uma das flores. Quais plantas mostram espirais de Fibonacci em suas flores Você pode encontrar um exemplo de flores com 5, 8, 13 ou 21 pétalas. Existem flores mostradas com outros números de pétalas que não são números de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Os cones de pinho Os cones de pin mostram as espirais Fibonacci claramente. Aqui está uma imagem de um cone de pinho comum visto a partir de sua base onde a haste conecta-a à árvore. Você pode ver os dois conjuntos de espirais. Quantos existem em cada conjunto? Aqui está outro cone de pinho. Não é apenas menor, mas tem um arranjo espiral diferente. Use os botões para ajudar a contar o número de espirais em cada direção neste cone de pinho. O padrão continua com os números de Fibonacci em cada coluna Arranjos de folhas de algumas plantas comuns Uma estimativa é que 90 por cento de todas as plantas apresentam esse padrão de folhas envolvendo os números de Fibonacci. Algumas árvores comuns com seus números de arranjo de folhas de Fibonacci são: 12 elm, linden, lima, gramíneas 13 faia, avelã, gramíneas, amora 25 carvalho, cereja, maçã, azevinho, ameixa, cascalho comum 38 poplar, rosa, pera, salgueiro 513 bichano Salgueiro, amêndoa onde tn significa que cada folha é tn de uma vez após a última folha ou que há t gira para n folhas. As espinhas de Cactuss muitas vezes mostram as mesmas espirais que já vimos em cones de pinus, pétalas e arranjos de folhas, mas são muito mais visíveis. Charles Dills observou que os números de Fibonacci ocorrem em Bromélias e sua página inicial tem links para muitas imagens. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Legumes e frutas Aqui está uma foto de uma couve-flor comum. Observe como é quase um pentágono no esboço. Olhando com cuidado, você pode ver um ponto central, onde os flósculos são menores. Olhe novamente, e você verá que os flósculos estão organizados em espirais em torno desse centro em ambos os sentidos. Quantas espirais existem em cada direção. Estes botões mostrarão as espirais mais claramente para você contar (as linhas são desenhadas entre os floretes): Broccoli romanêsCaiflor (ou Romanesco) parece e tem um cruzamento entre brócolis e couve-flor. Cada floret é atingido em pico e é uma versão idêntica, mas menor, da coisa toda e isso torna as espirais fáceis de ver. Quantas espirais estão lá em cada direção. Estes botões mostrarão as espirais mais claramente para você contar (as linhas são desenhadas entre os flósculos): Aqui estão algumas investigações para descobrir os números de Fibonacci para si mesmo em vegetais e frutas. Você faz as contas de matemática. Dê uma olhada em uma couve-flor na próxima vez que estiver preparando uma: Primeiro, olhe para ela: Conte o número de floretes nas espirais da sua couve-flor. O número em uma direção e no outro serão números Fibonacci, como já vimos aqui. Você obtém os mesmos números que na imagem Veja mais de perto um único flósculo (quebre um perto da base de sua couve-flor). É uma mini-couve-flor com seus próprios pequenos floretes, todos dispostos em espirais ao redor de um centro. Se você puder, conte as espirais nas duas direções. Quantos são, então, ao cortar os flósculos, tente isso: comece na parte inferior e tire o maior flósculo, cortando-o paralelamente ao caule principal. Encontre o próximo em cima do caule. Seria cerca de 0183618 de uma rodada (em uma direção). Corte-o da mesma maneira. Repita, tanto quanto você quiser e. Agora olhe para o caule. Onde os flósculos são bastante como um cone de pinho ou abacaxi. Os flocos foram dispostos em espirais até o caule. Contar com eles novamente mostra os números de Fibonacci. Experimente o mesmo para brócolis. As folhas chinesas e a alface são semelhantes, mas não existe um caule adequado para as folhas. Em vez disso, retire cuidadosamente as folhas, da parte mais externa, percebendo que elas se sobrepõem e geralmente há apenas uma que é a mais externa cada vez. Você deve encontrar algumas conexões do número Fibonacci. Procure os números de Fibonacci na fruta. E sobre uma banana. Contar com quantas superfícies planas é feita - é 3 ou talvez 5 Quando você o descascou, corte-o pela metade (como se estivesse quebrando pela metade, não longitudinalmente) e olhe novamente. Surpresa Há um número Fibonacci. E quanto a uma maçã. Em vez de cortá-lo da haste para a extremidade oposta (onde a flor era), ou seja, do pólo norte ao pólo sul, tente cortá-lo ao longo do Equador. Surpreende o seu número Fibonacci Experimente uma fruta Sharon. Onde mais você pode encontrar os números de Fibonacci em frutas e legumes Por que não me envie um email com seus resultados e os melhores serão colocados na Web aqui (ou ligados a sua própria página web). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Fibonacci Fingers Olhe para a sua própria mão: Você tem. Duas mãos, cada uma das quais tem. 5 dedos, cada um dos quais tem. 3 partes separadas por. 2 knuckles Isso é apenas uma coincidência ou não. No entanto, se você medir o comprimento dos ossos em seu dedo (melhor visto dobrando ligeiramente o dedo) parece que a proporção do osso mais longo em um dedo para o osso médio é Phi. O que é a proporção do osso do meio Para o osso mais curto (no final do dedo) - Phi novamente Você consegue encontrar algum rácio no comprimento dos dedos que se parece com Phi --- ou parece que poderia ser qualquer outra razão similar também Por que não medir As mãos dos seus amigos e coletar algumas estatísticas. NOTA: quando esta página foi criada pela primeira vez (em 1996), isso significava uma piada e como algo para investigar para mostrar que Phi, uma razão precisa de 1.6180339. Não é a resposta à vida, o universo e tudo - já que todos sabemos que a resposta é 42. A idéia de que os comprimentos das partes do dedo estavam em ratios foi posta em 1973, mas dois artigos posteriores que investigam isso mostram que isso é falso. Embora os números de Fibonacci sejam mencionados no título de um artigo em 2003, é realmente sobre as proporções de seção dourada de comprimentos de osso na mão humana, mostrando que em 100 raios-x da mão somente 1 em 12 poderia razoavelmente ser suposto ter dourado Corte do comprimento ósseo. A pesquisa de dois médicos britânicos em 2002 examina o comprimento dos dedos de seus pontos de rotação em quase 200 mãos e novamente não consegue encontrar phi (as proporções reais encontradas foram 1: 1 ou 1: 1,3). Sobre a adaptabilidade da mão do homem J W Littler, The Hand vol 5 (1973) páginas 187-191. A seqüência de Fibonacci: relação com a mão humana Andrew E Park, John J Fernandez, Karl Schmedders e Mark S Cohen Journal of Hand Surgery vol 28 (2003) páginas 157-160. Avaliação radiográfica dos comprimentos relativos dos ossos dos dedos da mão humana por R. Hamilton e RA Dunsmuir Journal of Hand Surgery vol 27B (Volume britânico e europeu, 2002) páginas 546-548 com agradecimentos a Gregory OGrady da Nova Zelândia por Essas referências e as informações nesta nota. De igual modo, se você achar que os números 1, 2, 3 e 5 ocorrem em algum lugar, nem sempre significa que os números de Fibonacci estão disponíveis (embora possam ser). Richard Guys, um artigo excelente e legível sobre como e por que as pessoas tiram conclusões erradas de dados inadequados, vale a pena olhar: A Lei Forte de Números Pequenos Richard K Guy no American Mathematical Monthly. Vol. 95, 1988, páginas 697-712. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Sempre Fibonacci Mas é sempre o número de Fibonacci que aparece nas plantas que eu lembro como uma criança que olha em um campo de trevo para o trevo evasivo de 4 folhas - e encontrando um. Fibonacci Números e Natureza Esta página foi dividida em DUAS PARTES. Isso, o primeiro. Olha os números de Fibonacci e por que eles aparecem em várias árvores genealógicas e padrões de espirais de folhas e sementes. A segunda página então examina por que a seção dourada é usada pela natureza com algum detalhe, incluindo animações de plantas em crescimento. Conteúdo desta página O ícone significa que há um Você faz as matemáticas. Seção de perguntas para iniciar suas próprias investigações. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Arbulos de família de coelhos, vacas e abelhas Vamos olhar primeiro no enigma de coelho que Fibonacci escreveu e, em seguida, em duas adaptações para torná-lo mais realista. Isto apresenta a série Fibonacci Number e a definição simples de toda a série sem fim. Fibonaccis Rabbits O problema original que Fibonacci investigou (no ano 1202) foi sobre a rapidez com que os coelhos poderiam se reproduzir em circunstâncias ideais. Suponha que um par recém-nascido de coelhos, um macho, uma fêmea, sejam colocados em um campo. Os coelhos são capazes de se acasalar com a idade de um mês para que, no final do segundo mês, uma fêmea possa produzir outro par de coelhos. Suponha que nossos coelhos nunca morram e que a fêmea sempre produz um par novo (um macho e uma fêmea) a cada mês a partir do segundo mês. O enigma que Fibonacci representava era. Quantos pares haverá em um ano No final do primeiro mês, eles se acasalam, mas ainda existe um único par. No final do segundo mês, a fêmea produz um novo par, então agora há 2 pares de coelhos no campo. No final do terceiro mês, a fêmea original produz um segundo par, fazendo 3 pares no campo todo. No final do quarto mês, a fêmea original produziu mais um novo par, a fêmea nascida há dois meses produz seu primeiro par, fazendo 5 pares. The number of pairs of rabbits in the field at the start of each month is 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Can you see how the series is formed and how it continues If not, look at the answer. The first 300 Fibonacci numbers are here and some questions for you to answer. Now can you see why this is the answer to our Rabbits problem If not, heres why. Another view of the Rabbits Family Tree: Both diagrams above represent the same information. Rabbits have been numbered to enable comparisons and to count them, as follows: All the rabbits born in the same month are of the same generation and are on the same level in the tree. The rabbits have been uniquely numbered so that in the same generation the new rabbits are numbered in the order of their parents number. Thus 5, 6 and 7 are the children of 0, 1 and 2 respectively. The rabbits labelled with a Fibonacci number are the children of the original rabbit (0) at the top of the tree. There are a Fibonacci number of new rabbits in each generation, marked with a dot. There are a Fibonacci number of rabbits in total from the top down to any single generation. There are many other interesting mathematical properties of this tree that are explored in later pages at this site.0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. The Rabbits problem is not very realistic, is it It seems to imply that brother and sisters mate, which, genetically, leads to problems. We can get round this by saying that the female of each pair mates with any male and produces another pair. Another problem which again is not true to life, is that each birth is of exactly two rabbits, one male and one female. Dudeneys Cows The English puzzlist, Henry E Dudeney (1857 - 1930, pronounced Dude-knee ) wrote several excellent books of puzzles (see after this section). In one of them he adapts Fibonaccis Rabbits to cows, making the problem more realistic in the way we observed above. He gets round the problems by noticing that really, it is only the females that are interesting - er - I mean the number of females He changes months into years and rabbits into bulls (male) and cows (females) in problem 175 in his book 536 puzzles and Curious Problems (1967, Souvenir press): If a cow produces its first she-calf at age two years and after that produces another single she-calf every year, how many she-calves are there after 12 years, assuming none die This is a better simplification of the problem and quite realistic now. But Fibonacci does what mathematicians often do at first, simplify the problem and see what happens - and the series bearing his name does have lots of other interesting and practical applications as we see later. So lets look at another real-life situation that is exactly modelled by Fibonaccis series - honeybees. Puzzle books by Henry E Dudeney Amusements in Mathematics. Dover Press, 1958, 250 pages. Still in print thanks to Dover in a very sturdy paperback format at an incredibly inexpensive price. This is a wonderful collection that I find I often dip into. There are arithmetic puzzles, geometric puzzles, chessboard puzzles, an excellent chapter on all kinds of mazes and solving them, magic squares, river crossing puzzles, and more, all with full solutions and often extra notes Highly recommended 536 Puzzles and Curious Problems is now out of print, but you may be able to pick up a second hand version by clicking on this link. It is another collection like Amusements in Mathematics (above) but containing different puzzles arranged in sections: Arithmetical and Algebraic puzzles, Geometrical puzzles, Combinatorial and Topological puzzles, Game puzzles, Domino puzzles, match puzzles and unclassified puzzles. Full solutions and index. A real treasure. The Canterbury Puzzles. Dover 2002, 256 pages. More puzzles (not in the previous books) the first section with some characters from Chaucers Canterbury Tales and other sections on the Monks of Riddlewell, the squires Christmas party, the Professors puzzles and so on and all with full solutions of course Honeybees and Family trees There are over 30,000 species of bees and in most of them the bees live solitary lives. The one most of us know best is the honeybee and it, unusually, lives in a colony called a hive and they have an unusual Family Tree. In fact, there are many unusual features of honeybees and in this section we will show how the Fibonacci numbers count a honeybees ancestors (in this section a bee will mean a honeybee). First, some unusual facts about honeybees such as: not all of them have two parents In a colony of honeybees there is one special female called the queen . There are many worker bees who are female too but unlike the queen bee, they produce no eggs. There are some drone bees who are male and do no work. Males are produced by the queens unfertilised eggs, so male bees only have a mother but no father All the females are produced when the queen has mated with a male and so have two parents. Females usually end up as worker bees but some are fed with a special substance called royal jelly which makes them grow into queens ready to go off to start a new colony when the bees form a swarm and leave their home (a hive ) in search of a place to build a new nest. So female bees have 2 parents, a male and a female whereas male bees have just one parent, a female. Here we follow the convention of Family Trees that parents appear above their children . so the latest generations are at the bottom and the higher up we go, the older people are. Such trees show all the ancestors (predecessors, forebears, antecedents) of the person at the bottom of the diagram. We would get quite a different tree if we listed all the descendants (progeny, offspring) of a person as we did in the rabbit problem, where we showed all the descendants of the original pair. Lets look at the family tree of a male drone bee. He had 1 parent, a female. He has 2 grand-parents, since his mother had two parents, a male and a female. He has 3 great-grand-parents: his grand-mother had two parents but his grand-father had only one. How many great-great-grand parents did he have Again we see the Fibonacci numbers : The Fibonacci Sequence as it appears in Nature by S. L.Basin in Fibonacci Quarterly . vol 1 (1963), pages 53 - 57. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. You do the maths. Make a diagram of your own family tree. Ask your parents and grandparents and older relatives as each will be able to tell you about particular parts of your family tree that others didnt know. It can be quite fun trying to see how far back you can go. If you have them put old photographs of relatives on a big chart of your Tree (or use photocopies of the photographs if your relatives want to keep the originals). If you like, include the year and place of birth and death and also the dates of any marriages. A brother or sister is the name for someone who has the same two parents as yourself. What is a half-brother and half-sister Describe a cousin but use simpler words such as brother, sister, parent, child . Do the same for nephew and niece . What is a second cousin . What do we mean by a brother-in-law, sister-in-law, mother-in-law, etc . Grand - and great - refer to relatives or your parents . Thus a grand-father is a father of a parent of yours and great-aunt or grand-aunt is the name given to an aunt of your parents. Make a diagram of Family Tree Names so that Me is at the bottom and Mum and Dad are above you. Mark in brother, sister, uncle, nephew and as many other names of (kinds of) relatives that you know. It doesnt matter if you have no brothers or sisters or nephews as the diagram is meant to show the relationships and their names. If you have a friend who speaks a foreign language, ask them what words they use for these relationships. What is the name for the wife of a parents brother Do you use a different name for the sister of your parents In law these two are sometimes distinguished because one is a blood relative of yours and the other is not, just a relative through marriage. Which do you think is the blood relative and which the relation because of marriage How many parents does everyone have So how many grand-parents will you have to make spaces for in your Family tree Each of them also had two parents so how many great-grand-parents of yours will there be in your Tree . and how many great-great-grandparents What is the pattern in this series of numbers If you go back one generation to your parents, and two to your grand-parents, how many entries will there be 5 generations ago in your Tree and how many 10 generations agoThe Family Tree of humans involves a different sequence to the Fibonacci Numbers. What is this sequence called Looking at your answers to the previous question, your friend Dee Duckshun says to you: You have 2 parents. They each have two parents, so thats 4 grand-parents youve got. They also had two parents each making 8 great-grand-parents in total. . and 16 great-great-grand-parents. . e assim por diante. So the farther back you go in your Family Tree the more people there are. It is the same for the Family Tree of everyone alive in the world today. It shows that the farther back in time we go, the more people there must have been. So it is a logical deduction that the population of the world must be getting smaller and smaller as time goes on Is there an error in Dees argument If so, what is it Ask your maths teacher or a parent if you are not sure of the answer 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Fibonacci numbers and the Golden Ratio If we take the ratio of two successive numbers in Fibonaccis series, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. ) and we divide each by the number before it, we will find the following series of numbers: It is easier to see what is happening if we plot the ratios on a graph: The ratio seems to be settling down to a particular value, which we call the golden ratio or the golden number . It has a value of approximately 1183618034 . although we shall find an even more accurate value on a later page this link opens a new window. You do the maths. What happens if we take the ratios the other way round i. e. we divide each number by the one following it: 11, 12, 23, 35, 58, 813. Use your calculator and perhaps plot a graph of these ratios and see if anything similar is happening compared with the graph above. Youll have spotted a fundamental property of this ratio when you find the limiting value of the new series 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. The golden ratio 1183618034 is also called the golden section or the golden mean or just the golden number . It is often represented by a Greek letter Phi . The closely related value which we write as phi with a small p is just the decimal part of Phi, namely 0183618034. Fibonacci Rectangles and Shell Spirals We can make another picture showing the Fibonacci numbers 1,1,2,3,5,8,13,21. if we start with two small squares of size 1 next to each other. On top of both of these draw a square of size 2 (11). We can now draw a new square - touching both a unit square and the latest square of side 2 - so having sides 3 units long and then another touching both the 2-square and the 3-square (which has sides of 5 units). We can continue adding squares around the picture, each new square having a side which is as long as the sum of the latest two squares sides . This set of rectangles whose sides are two successive Fibonacci numbers in length and which are composed of squares with sides which are Fibonacci numbers, we will call the Fibonacci Rectangles . Here is a spiral drawn in the squares, a quarter of a circle in each square. The spiral is not a true mathematical spiral (since it is made up of fragments which are parts of circles and does not go on getting smaller and smaller) but it is a good approximation to a kind of spiral that does appear often in nature. Such spirals are seen in the shape of shells of snails and sea shells and, as we see later, in the arrangement of seeds on flowering plants too. The spiral-in-the-squares makes a line from the centre of the spiral increase by a factor of the golden number in each square. So points on the spiral are 1.618 times as far from the centre after a quarter-turn. In a whole turn the points on a radius out from the centre are 1.618 4 6.854 times further out than when the curve last crossed the same radial line. Cundy and Rollett (Mathematical Models, second edition 1961, page 70) say that this spiral occurs in snail-shells and flower-heads referring to DArcy Thompsons On Growth and Form probably meaning chapter 6 The Equiangular Spiral. Here Thompson is talking about a class of spiral with a constant expansion factor along a central line and not just shells with a Phi expansion factor. Below are images of cross-sections of a Nautilus sea shell. They show the spiral curve of the shell and the internal chambers that the animal using it adds on as it grows. The chambers provide buoyancy in the water. Click on the picture to enlarge it in a new window. Draw a line from the centre out in any direction and find two places where the shell crosses it so that the shell spiral has gone round just once between them. The outer crossing point will be about 1.6 times as far from the centre as the next inner point on the line where the shell crosses it. This shows that the shell has grown by a factor of the golden ratio in one turn. On the poster shown here, this factor varies from 1.6 to 1.9 and may be due to the shell not being cut exactly along a central plane to produce the cross-section. Several organisations and companies have a logo based on this design, using the spiral of Fibonacci squares and sometime with the Nautilus shell superimposed. It is incorrect to say this is a Phi-spiral. Firstly the spiral is only an approximation as it is made up of separate and distinct quarter-circles secondly the (true) spiral increases by a factor Phi every quarter-turn so it is more correct to call it a Phi 4 spiral. Click on the logos to find out more about the organisations. Everest Community College Basingstoke Here are some more wonderful pictures from All Posters (which you can buy for your classroom or wall at home). Click on each to enlarge it in a new window. The same happens in many seed and flower heads in nature. The reason seems to be that this arrangement forms an optimal packing of the seeds so that, no matter how large the seed head, they are uniformly packed at any stage, all the seeds being the same size, no crowding in the centre and not too sparse at the edges. The spirals are patterns that the eye sees, curvier spirals appearing near the centre, flatter spirals (and more of them) appearing the farther out we go. So the number of spirals we see, in either direction, is different for larger flower heads than for small. On a large flower head, we see more spirals further out than we do near the centre. The numbers of spirals in each direction are (almost always) neighbouring Fibonacci numbers Click on these links for some more diagrams of 500. 1000 and 5000 seeds. Click on the image on the right for a Quicktime animation of 120 seeds appearing from a single central growing point. Each new seed is just phi (0183618) of a turn from the last one (or, equivalently, there are Phi (1183618) seeds per turn). The animation shows that, no matter how big the seed head gets, the seeds are always equally spaced. At all stages the Fibonacci Spirals can be seen. The same pattern shown by these dots (seeds) is followed if the dots then develop into leaves or branches or petals. Each dot only moves out directly from the central stem in a straight line. This process models what happens in nature when the growing tip produces seeds in a spiral fashion. The only active area is the growing tip - the seeds only get bigger once they have appeared. This animation was produced by Maple. If there are N seeds in one frame, then the newest seed appears nearest the central dot, at 0183618 of a turn from the angle at which the last appeared. A seed which is i frames old still keeps its original angle from the exact centre but will have moved out to a distance which is the square-root of i. Phyllotaxis. A Systemic Study in Plant Morphogenesis (Cambridge Studies in Mathematical Biology) by Roger V. Jean (400 pages, Cambridge University Press, 1994) has a good illustration on its cover - click on the books title link or this little picture of the cover and on the page that opens, click on picture of the front cover to see it. It clearly shows that the spirals the eye sees are different near the centre on a real sunflower seed head, with all the seeds the same size. Smith College (Northampton, Massachusetts, USA) has an excellent website. An Interactive Site for the Mathematical Study of Plant Pattern Formation which is well worth visiting. It also has a page of links to more resources. Note that you will not always find the Fibonacci numbers in the number of petals or spirals on seed heads etc. although they often come close to the Fibonacci numbers. You do the maths. Why not grow your own sunflower from seed . I was surprised how easy they are to grow when the one pictured above just appeared in a bowl of bulbs on my patio at home in the North of England. Perhaps it got there from a bird-seed mix I put out last year Bird-seed mix often has sunflower seeds in it, so you can pick a few out and put them in a pot. Sow them between April and June and keep them warm. Alternatively, there are now a dazzling array of colours and shapes of sunflowers to try. A good source for your seed is: Nickys Seeds who supplies the whole range of flower and vegetable seed including sunflower seed in the UK. Have a look at the online catalogue at Nickys Seeds where there are lots of pictures of each of the flowers. Which plants show Fibonacci spirals on their flowers Can you find an example of flowers with 5, 8, 13 or 21 petals Are there flowers shown with other numbers of petals which are not Fibonacci numbers 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Pine cones Pine cones show the Fibonacci Spirals clearly. Here is a picture of an ordinary pine cone seen from its base where the stalk connects it to the tree. Can you see the two sets of spirals How many are there in each set Here is another pine cone. It is not only smaller, but has a different spiral arrangement. Use the buttons to help count the number of spirals in each direction on this pine cone. The pattern continues with Fibonacci numbers in each column Leaf arrangements of some common plants One estimate is that 90 percent of all plants exhibit this pattern of leaves involving the Fibonacci numbers. Some common trees with their Fibonacci leaf arrangement numbers are: 12 elm, linden, lime, grasses 13 beech, hazel, grasses, blackberry 25 oak, cherry, apple, holly, plum, common groundsel 38 poplar, rose, pear, willow 513 pussy willow, almond where tn means each leaf is tn of a turn after the last leaf or that there is there are t turns for n leaves. Cactuss spines often show the same spirals as we have already seen on pine cones, petals and leaf arrangements, but they are much more clearly visible. Charles Dills has noted that the Fibonacci numbers occur in Bromeliads and his Home page has links to lots of pictures. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Vegetables and Fruit Here is a picture of an ordinary cauliflower. Note how it is almost a pentagon in outline. Looking carefully, you can see a centre point, where the florets are smallest. Look again, and you will see the florets are organised in spirals around this centre in both directions. How many spirals are there in each direction These buttons will show the spirals more clearly for you to count (lines are drawn between the florets): Romanesque BroccoliCauliflower (or Romanesco) looks and tastes like a cross between broccoli and cauliflower. Each floret is peaked and is an identical but smaller version of the whole thing and this makes the spirals easy to see. How many spirals are there in each direction These buttons will show the spirals more clearly for you to count (lines are drawn between the florets): Here are some investigations to discover the Fibonacci numbers for yourself in vegetables and fruit. You do the maths. Take a look at a cauliflower next time youre preparing one: First look at it: Count the number of florets in the spirals on your cauliflower. The number in one direction and in the other will be Fibonacci numbers, as weve seen here. Do you get the same numbers as in the picture Take a closer look at a single floret (break one off near the base of your cauliflower). It is a mini cauliflower with its own little florets all arranged in spirals around a centre. If you can, count the spirals in both directions. How many are there Then, when cutting off the florets, try this: start at the bottom and take off the largest floret, cutting it off parallel to the main stem. Find the next on up the stem. Itll be about 0183618 of a turn round (in one direction). Cut it off in the same way. Repeat, as far as you like and. Now look at the stem. Where the florets are rather like a pine cone or pineapple. The florets were arranged in spirals up the stem. Counting them again shows the Fibonacci numbers. Try the same thing for broccoli . Chinese leaves and lettuce are similar but there is no proper stem for the leaves. Instead, carefully take off the leaves, from the outermost first, noticing that they overlap and there is usually only one that is the outermost each time. You should be able to find some Fibonacci number connections. Look for the Fibonacci numbers in fruit. What about a banana . Count how many flat surfaces it is made from - is it 3 or perhaps 5 When youve peeled it, cut it in half (as if breaking it in half, not lengthwise) and look again. Surprise Theres a Fibonacci number. What about an apple . Instead of cutting it from the stalk to the opposite end (where the flower was), i. e. from North pole to South pole, try cutting it along the Equator. Surprise theres your Fibonacci number Try a Sharon fruit. Where else can you find the Fibonacci numbers in fruit and vegetables Why not email me with your results and the best ones will be put on the Web here (or linked to your own web page). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Fibonacci Fingers Look at your own hand: You have. 2 hands each of which has. 5 fingers, each of which has. 3 parts separated by. 2 knuckles Is this just a coincidence or not. However, if you measure the lengths of the bones in your finger (best seen by slightly bending the finger) does it look as if the ratio of the longest bone in a finger to the middle bone is Phi What about the ratio of the middle bone to the shortest bone (at the end of the finger) - Phi again Can you find any ratios in the lengths of the fingers that looks like Phi ---or does it look as if it could be any other similar ratio also Why not measure your friends hands and gather some statistics NOTE: When this page was first created (back in 1996) this was meant as a joke and as something to investigate to show that Phi, a precise ratio of 1.6180339. is not the Answer to Life The Universe and Everything -- since we all know the answer to that is 42 . The idea of the lengths of finger parts being in phi ratios was posed in 1973 but two later articles investigating this both show this is false. Although the Fibonacci numbers are mentioned in the title of an article in 2003, it is actually about the golden section ratios of bone lengths in the human hand, showing that in 100 hand x-rays only 1 in 12 could reasonably be supposed to have golden section bone-length ratios. Research by two British doctors in 2002 looks at lengths of fingers from their rotation points in almost 200 hands and again fails to find to find phi (the actual ratios found were 1:1 or 1:1.3). On the adaptability of mans hand J W Littler, The Hand vol 5 (1973) pages 187-191. The Fibonacci Sequence: Relationship to the Human Hand Andrew E Park, John J Fernandez, Karl Schmedders and Mark S Cohen Journal of Hand Surgery vol 28 (2003) pages 157-160. Radiographic assessment of the relative lengths of the bones of the fingers of the human hand by R. Hamilton and R. A. Dunsmuir Journal of Hand Surgery vol 27B (British and European Volume, 2002) pages 546-548 with thanks to Gregory OGrady of New Zealand for these references and the information in this note. Similarly, if you find the numbers 1, 2, 3 and 5 occurring somewhere it does not always means the Fibonacci numbers are there (although they could be). Richard Guys excellent and readable article on how and why people draw wrong conclusions from inadequate data is well worth looking at: The Strong Law of Small Numbers Richard K Guy in The American Mathematical Monthly . Vol 95, 1988, pages 697-712. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. More. Always Fibonacci But is it always the Fibonacci numbers that appear in plants I remember as a child looking in a field of clover for the elusive 4-leaved clover -- and finding one. Fibonacci Spiral Fibonacci spirals provide the optimal link between price and time analysis and are the answer to a long search for a solution to forecasting both time and price. Each point on a spiral manifests an optimal combination of price and time. Corrections and trend changes occur at all those prominent points where the Fibonacci spiral is touched on its growth path through price and time. You will be astonished to see that if the correct center is chosen, Fibonacci spirals pinpoint turning points in the market with an accuracy seldom before seen. Investing based on spirals is neither a black-box approach nor an overfitted computerized trading system. It is a simple universal geometrical law applied to different sorts of products such as futures, stock index futures, stocks or cash currencies. The Fibonacci spiral is one of the many Fibonacci Studies for analyzing markets in terms of support and resistence levels for the price of a given asset. Unlike several of the other Fibonacci studies, the exact methods for calculating Fibonacci spirals are kept as something of a secret. The basic idea behind the Fibonacci spiral is that a certain extreme point on a market chart is taken to be the center of the spiral, and then a Fibonacci spiral based on the golden ratio is drawn emanating out from that center. Certain points along the spiral are then considered to be strong indicators of market events, such as babypipsschoolreversalpatterns. html reversals, price spikes or high levels of resistance or support. The Advocates often tout the Fibonacci spiral as an extremely accurate method of predicting the behavior of a market based on both critical times and critical price levels, rather than simply on price levels. Several pieces of software exist for calculating Fibonacci spirals on a computerized chart. The secret nature of the calculations, however, makes it difficult for a prospective Fibonacci trader to assess the actual efficacy of the device. In general, Fibonacci spirals are generated by picking a starting point and then increasing the width of points along the spiral from the center by multiplying the width by a Fibonacci ratio for every quarter turn. In markets, this Fibonacci ratio would likely be determined by certain price levels within the market. Categories:
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